“方程的根與函數(shù)的零點”教學教案設計

　　一、教學內(nèi)容解析

　　本節(jié)課的主要內(nèi)容有函數(shù)零點的的概念、函數(shù)零點存在性判定定理。

　　函數(shù)f(x)的零點,是中學數(shù)學的一個重要概念,從函數(shù)值與自變量對應的角度看,就是使函數(shù)值為0的實數(shù)x;從方程的角度看,即為相應方程f(x)=0的實數(shù)根，從函數(shù)的圖形表示看,函數(shù)的零點就是函數(shù)f(x)與x軸交點的橫坐標.函數(shù)是中學數(shù)學的核心概念，核心的根本原因之一在于函數(shù)與其他知識具有廣泛的聯(lián)系性，而函數(shù)的零點就是其中的一個鏈結(jié)點,它從不同的角度,將數(shù)與形,函數(shù)與方程有機的聯(lián)系在一起。

　　函數(shù)零點的存在性判定定理，其目的就是通過找函數(shù)的零點來研究方程的根，進一步突出函數(shù)思想的應用，也為二分法求方程的近似解作好知識上和思想上的準備。定理不需證明，關鍵在于讓學生通過感知體驗并加以確認，由些需要結(jié)合具體的實例，加強對定理進行全面的認識，比如定理應用的局限性，即定理的前提是函數(shù)的圖象必須是連續(xù)的，定理只能判定函數(shù)的“變號”零點;定理結(jié)論中零點存在但不一定唯一，需要結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)作進一步的判斷。

　　對函數(shù)與方程的關系有一個逐步認識的過程，教材遵循了由淺入深、循序漸進的原則.從學生認為較簡單的一元二次方程與相應的二次函數(shù)入手，由具體到一般，建立一元二次方程的根與相應的二次函數(shù)的零點的聯(lián)系，然后將其推廣到一般方程與相應的函數(shù)的情形。

　　函數(shù)與方程相比較,一個“動”，一個“靜”;一個“整體”，一個“局部”。用函數(shù)的觀點研究方程，本質(zhì)上就是將局部的問題放在整體中研究，將靜態(tài)的結(jié)果放在動態(tài)的過程中研究，這為今后進一步學習函數(shù)與不等式等其它知識的聯(lián)系奠定了堅實的基礎。

　　本節(jié)是函數(shù)應用的第一課，因此教學時應當站在函數(shù)應用的高度，從函數(shù)與其他知識的聯(lián)系的角度來引入較為適宜。

　　二、教學目標解析

　　1.結(jié)合具體的問題，并從特殊推廣到一般，使學生領會函數(shù)與方程之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系。

　　2.結(jié)合函數(shù)圖象，通過觀察分析特殊函數(shù)的零點存在的特點，通過問題，理解連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點的判定方法，并能由此方法判定函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點。了解定理應用的前提條件，應用的局限性，及定理的準確結(jié)論。

　　3.通過具體實例，學生能結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)進一步判斷函數(shù)零點的個數(shù)。

　　4.在學習過程中，體驗函數(shù)與方程思想及數(shù)形結(jié)合思想。

　　三、教學問題診斷分析

　　1.通過前面的學習，學生已經(jīng)了解一些基本初等函數(shù)的模型，掌握了函數(shù)圖象的一般畫法，及一定的看圖識圖能力,這為本節(jié)課利用函數(shù)圖象，判斷方程根的存在性提供了一定的知識基礎。對于函數(shù)零點的概念本質(zhì)的理解，學生缺乏的是函數(shù)的觀點，或是函數(shù)應用的意識，造成對函數(shù)與方程之間的聯(lián)系缺乏了解。由此作為函數(shù)應用的第一課時，有必要點明函數(shù)的核心地位，即說明函數(shù)與其他知識的聯(lián)系及其在生活中的應用，初步樹立起函數(shù)應用的意識。并從此出發(fā)，通過問題的設置，引導學生思考，再通過實例的確認與體驗，從直觀到抽象，從特殊到一般的學習方式，捅破學生認識上的這層“窗戶紙”。

　　2.對于零點存在的判定定理，教材不要求給予其證明，這需要教師提供一定量的具體案例讓學生操作感知，同時鼓勵學生舉例來驗證，最終能自主地獲得并確認該定理的結(jié)論。對于定理的條件和結(jié)論，學生往往考慮不夠深入，需要教師通過具體的問題，引導學生從正面、反面、側(cè)面等不同的角度重新進行審視。

　　3.函數(shù)的零點，體現(xiàn)了函數(shù)與方程之間的密切聯(lián)系，教學中應遵循高中數(shù)學以函數(shù)為主線的這一原則進行聯(lián)結(jié)，側(cè)重在從函數(shù)的角度看方程，同時為二分法求方程的近似解作知識和思想上的準備。

　　四、教學過程設計

　　(一)創(chuàng)設情景，揭示課題

　　函數(shù)是中學數(shù)學的核心內(nèi)容，它不僅在生活中有著大量的應用，與其他數(shù)學知識有著千絲萬縷的聯(lián)系，若能抓住這一聯(lián)系，你就擁有了一把解決問題的金鑰匙。

　　案例1：周長為定值的矩形

　　不妨取l=12

　　問題1：求其面積的值：

　　顯然面積是一個關于x的一個二次多項式

　　，用幾何畫板演示矩形的變化：

　　問題2：求矩形面積的最大值?

　　當x取不同值時，代數(shù)式的值也相應隨之變化，你能從函數(shù)的角度審視其中的關系嗎?

　　問題3：能否使得矩形的面積為8?你是如何分析的?

　　(1)實驗演示的角度進行估計，拖動時難以恰好出現(xiàn)面積為8的情況;

　　(2)解方程：x(6-x)=8

　　(3)方程x(6-x)=8能否從函數(shù)的角度來進行描述?

　　問題4：

　　一般地，對于一般的二次三項式，二次方程與二次函數(shù)，它們之間有何聯(lián)系?

　　結(jié)論：

　　代數(shù)式的值就是相應的函數(shù)值;

　　方程的根就是使相應函數(shù)值為0的x的值。

　　更一般地

　　方程f(x)=0的根，就是使函數(shù)值y=f(x)的函數(shù)值為0的x值，從函數(shù)的角度我們稱之為零點。

　　設計意圖:本節(jié)課是函數(shù)應用的第一課，有必要讓學生對函數(shù)的應用有所了解。從具體的問題出發(fā),揭示函數(shù)與代數(shù)式、方程之間的內(nèi)在聯(lián)系，并從學生所熟悉的具體的二次函數(shù)，推廣到一般的二次函數(shù)，再進一步推廣到一般的函數(shù)。

　　(二) 互動交流 研討新知

　　1.函數(shù)零點的概念：

　　對于函數(shù)

　　，把使

　　成立的實數(shù)

　　叫做函數(shù)

　　的零點.

　　2.對零點概念的理解

　　案例2：觀察圖象

　　問題1：此圖象是否能表示函數(shù)?

　　問題2：你能從中分析函數(shù)有哪些零點嗎?

　　問題3：從函數(shù)圖象的角度，你能對函數(shù)的零點換一種說法嗎?

　　結(jié)論：函數(shù)

　　的零點就是方程

　　實數(shù)根，亦即函數(shù)

　　的圖象與

　　軸交點的橫坐標.即：

　　方程

　　有實數(shù)根

　　函數(shù)

　　的圖象與

　　軸有交點

　　函數(shù)

　　有零點.

　　設計意圖：進一步掌握函數(shù)的核心概念，同時通過圖象進行一步完善對函數(shù)零點的全面理解，為下面借助圖象探究零點存在性定理作好一定的鋪墊。

　　2.零點存在定理的探究

　　案例3：下表是三次函數(shù)

　　的部分對應值表：

　　問題1：你能從表中找出函數(shù)的零點嗎?

　　問題2：結(jié)合圖象與表格，你能發(fā)現(xiàn)此函數(shù)零點的附近函數(shù)值有何特點?

　　生：兩邊的函數(shù)值異號!

　　問題3：如果一個函數(shù)f(x)滿足f(a)f(b)<0,在區(qū)間(a,b)上是否一定存在著函數(shù)的零點?

　　注意:函數(shù)在區(qū)間上必須是連續(xù)的(圖象能一筆畫),從而引出零點存在性定理.

　　問題4: 有位同學畫了一個圖,認為定理不一定成立,你的看法呢?

　　問題5:你能改變定理的條件或結(jié)論,得到一些新的命題嗎?

　　如1:加強定理的結(jié)論:若在區(qū)間[a，b]上連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(a)f(b)<0,是否意味著函數(shù)f(x)在[a,b]上恰有一個零點?

　　如2.將定理反過來:若連續(xù)函數(shù)f(x)在[a,b]上有一個零點,是否一定有f(a)f(b)<0?

　　如3:一般化:一個函數(shù)的零點是否都可由上述的定理進行判斷?(反例:同號零點,如案例2中的零點-2)

　　設計意圖：通過表格，是為了進一步鞏固對函數(shù)這一概念的全面認識，并為觀察零點存在性定理中函數(shù)值的異號埋下伏筆。通過教師的設問讓學生進一步全面深入地領悟定理的內(nèi)容，而鼓勵學生提問，是培養(yǎng)學生學習主動性和創(chuàng)造能力必要的過程。

　　(三)鞏固深化，發(fā)展思維

　　例1、求函數(shù)f(x)=㏑x+2x -6的零點個數(shù)。

　　設計問題：

　　(1)你可以想到什么方法來判斷函數(shù)零點?

　　(2)你是如何來確定零點所在的區(qū)間的?請各自選擇。

　　(3)零點是唯一的嗎?為什么?

　　設計意圖：對所學內(nèi)容鞏固，可以借助<幾何畫板>畫出函數(shù)f(x)的圖象觀察,也可借助列出函數(shù)值表觀察。

　　本題可以使學生意識對零點的區(qū)間是不唯一的，為下一節(jié)二分法求方程的近似解奠定基礎。

　　讓學生進一步領悟，零點的唯一性需要借助函數(shù)的單調(diào)性。

　　(四)歸納整理，整體認識

　　請回顧本節(jié)課所學知識內(nèi)容有哪些?

　　所涉及到的主要數(shù)學思想又有哪些?

　　你還獲得了什么?

　　(五)作業(yè)(略)

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