充分利用三角形面積巧解題

　　“補形法”是解幾何題常用的重要方法之一。所謂“補形”，就是根據(jù)題目的條件和圖形，經(jīng)過觀察、分析和聯(lián)想，運用添加輔助線的方法，使之轉(zhuǎn)化為熟悉的基本圖形，從而可溝通條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，為解題開辟了新的途徑和方法，達到了解題的目的。下面舉例說明補形法的應(yīng)用。

　　1、補成三角形

例1 如圖1，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，AD=5。求 。

　　圖1

　　解：延長AD、BC交于點E(如圖1)，由條件可知

　　∠E=30°

所以 ， 于是 所以 故 例2 如圖2，在△ABC中，E是BC的中點，D在AC邊上，若∠BAC=60°，∠ACB=20°，∠DEC=80°，AC=1，求 。

　　圖2

　　解：延長AB到F，使AF=AC，連結(jié)FC，由∠BAC=60°，得

　　△ACF是等邊三角形。

　　作∠BCF的平分線CG，交AF于G點，則

　　∠1=∠2=∠3=20°，

　　∠GBC=∠A+∠2=60°+20°=80°=∠DEC

所以 又 所以 于是

　　2、補成平行四邊形

　　例3 如圖3，六邊形ABCDEF的六個內(nèi)角相等，且AB+BC=11，AF-CD=3，求BC+DE的值。

　　圖3

　　分析：由六邊形ABCDEF的六個內(nèi)角相等，得六邊形ABCDEF的內(nèi)角都是120°。

　　延長FA、CB交于P點，延長CD、FE交于Q點，則四邊形CQFP是平行四邊形，△ABP、△DEQ是等邊三角形。

　　于是有PA+AF=CD+DQ

所以 又 所以

　　又AB+BC=11

　　所以BC+DE=14

　　3、補成菱形

例4 如圖4，凸五邊形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=2，CD=DE=4。求 。

　　圖4

　　解：延長EA、CB交于F點。由∠A=∠B=120°易得△ABF是等邊三角形，

　　所以四邊形CDEF是菱形，

故

　　4、補成矩形

　　例5 八邊形ABCDEFGH的八個內(nèi)角都相等，各邊長度如圖5所示，求八邊形ABCDEFGH的周長。

　　圖5

　　解：由八邊形ABCDEFGH的八個內(nèi)角相等，得其內(nèi)角都是135°。

　　延長AB、DC交于M點，延長CD、FE交于N點，延長EF、HG交于P點，延長GH、BA交于Q點，則MNPQ是矩形，△BCM、△DEN、△FGP、△AHQ均為等腰直角三角形。

　　設(shè)AH=x，GH=y

　　由MQ=NP，MN=PQ，得

所以 故八邊形ABCDEFGH的周長 。

　　5、補成正方形

例6 如圖6，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，CD=3，求 。

　　圖6

　　分析：由于∠BAC=45°，分別將△BAD、△CAD沿AB、AC向外翻折至△BAF、△CAE處，延長FB、EC交于G點，則四邊形AEGF是正方形。

設(shè)AD=x，則 在△BCG中， 即 解得 或 (舍去) 所以

　　6、補成梯形

例7 如圖7，四邊形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°， ， ，CD=6，求AD。

　　圖7

　　分析：由于∠ABC=135°，∠BCD=120°，故可過點A作AE垂直于CB的延長線于E，過點D作DF垂直于BC的延長線于F，則△ABE是等腰直角三角形，△CDF是含30°角的直角三角形，所以四邊形ADFE是直角梯形。

　　過A作AM⊥DF于M，則

所以

　　7、補成正六邊形

　　例8 六個半徑為1的圓的位置如圖8所示，求中間沒被蓋住的空白部分的面積。

　　圖8

　　解：如圖8，連結(jié)相鄰兩圓的圓心，得六邊形ABCDEF是正六邊形。

故

　　8、補成整圓

　　例9 如圖9，半圓的O的直徑在梯形ABCD的下底AB上，且與其余三邊AD、DC、CB相切，若BC=2，AD=3，求AB的長。

　　圖9

　　解：將半圓O補成整圓，作平行于AB的切線EF，交DA、CB的延長線于E、F，則

　　AB是梯形CDEF的中位線，

故

　　從以上分析可以看出，“補形法”在解有關(guān)幾何題時，有它獨特的魅力，可以使解答簡單流暢，別具一格，使一些復雜的問題迎刃而解。開拓了學生的思路，提高了解題能力，對培養(yǎng)學生的興趣也大有裨益。

　　練習：

　　1、六邊形ABCDEF的六個內(nèi)角都是120°，其連續(xù)四邊的長分別是AB=3，BC=6，CD=5，DE=4，求六邊形ABCDEF的周長和面積。

2、在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一點，且AE⊥BD的延長線于E， 。求證BD平分∠ABC。

　　3、四邊形ABCD中，AB=AC=AD=a，CD=b，AD//BC，求對角線BD的長。

4、△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分線EF交BC的延長線于E。求證 。

　　5、在四邊形ABCD中，∠BCD=∠CDA=120°，BC=5，CD=4，DA=6。求AB。

　　6、△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P為形內(nèi)一點，BP=BA，∠ABP=30°，求證PA=PC。

　　答案：

1、補成等邊三角形，29;

　　2、補成等腰三角形

3、補成等腰梯形，

　　4、補成等腰三角形

5、補成矩形，

　　6、補成正方形。

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