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數(shù)學(xué)教學(xué)中直線(xiàn)與平面基本概念的教學(xué)方法論文
摘要：掌握直線(xiàn)與平面的基本概念是學(xué)好立體幾何的關(guān)鍵。教學(xué)中要消除學(xué)生的學(xué)習(xí)顧慮，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，用生動(dòng)、形象、有趣的語(yǔ)言講清概念，抓住關(guān)鍵性的詞匯，用反例圖形澄清錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，借助模型和實(shí)物，善于歸納總結(jié)找出規(guī)律，加強(qiáng)對(duì)概念的理解與記憶。
關(guān)鍵詞：立體幾何；直線(xiàn)與平面；基本概念；教學(xué)方法
立體幾何中的概念、公理、定理是進(jìn)行邏輯推理的基礎(chǔ)，尤其是“直線(xiàn)與平面”這一章的內(nèi)容，它系統(tǒng)地研究了線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的位置關(guān)系及判定、性質(zhì)，是整個(gè)立體幾何主要的基礎(chǔ)知識(shí)。因此，掌握好這一章內(nèi)容是學(xué)好立體幾何的關(guān)鍵。為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)基本概念的理解、記憶，為整個(gè)立體幾何學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，現(xiàn)就以下幾個(gè)方面談幾點(diǎn)個(gè)人的教學(xué)體會(huì)。
消除思想顧慮，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣
近幾年來(lái)，技工學(xué)校的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)普遍較差，缺乏空間想象力與邏輯推理能力，由平面幾何轉(zhuǎn)入立體幾何，學(xué)生會(huì)感到很不適應(yīng)，總是習(xí)慣于用平面圖形的思維來(lái)考慮空間圖形，對(duì)學(xué)好立體幾何信心不足。針對(duì)這些情況，在教學(xué)中首先要鼓起學(xué)生學(xué)好立體幾何的勇氣，向?qū)W生介紹立體幾何的研究對(duì)象、學(xué)習(xí)方法，指出立體幾何與平面幾何是緊密相聯(lián)的，很多立體幾何的問(wèn)題，都可以轉(zhuǎn)化為平面幾何的問(wèn)題來(lái)解決，鼓勵(lì)學(xué)生只要認(rèn)真學(xué)習(xí)，抓住每個(gè)概念的本質(zhì)，做到深刻地理解就能學(xué)好立體幾何，從而消除學(xué)生學(xué)習(xí)中的顧慮。為了引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，充分認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)立體幾何知識(shí)的現(xiàn)實(shí)意義，可以列舉一些現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)例，并提出一些有啟發(fā)性的問(wèn)題，如三條腿的凳子為什么是平穩(wěn)的？怎樣判定墻面與地面垂直？怎樣檢驗(yàn)鉆床的鉆頭是否與工作面垂直？等等，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到立體幾何知識(shí)在日常生活中無(wú)處不在，原理無(wú)時(shí)不用，從而產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)求知欲望。
用生動(dòng)、形象、有趣的語(yǔ)言講清概念
教師的語(yǔ)言要直觀(guān)、生動(dòng)、形象，既活潑有趣，又淺顯易懂、深入淺出。這樣才能把抽象的事物具體化，把深?yuàn)W的理論形象化，使學(xué)生易于理解、易于產(chǎn)生聯(lián)想。例如“平面”是一個(gè)原始的概念，無(wú)法下定義，只能舉實(shí)例給出“平面”的形象。數(shù)學(xué)中的平面在空間是無(wú)限延展的，讓學(xué)生體會(huì)到平面的延展性往往很難。有的學(xué)生總會(huì)誤認(rèn)為桌面、鏡面等就是數(shù)學(xué)中的平面，把生活中的平面與幾何中的平面混為一談。教師可以先從“直線(xiàn)”的概念講起，提出類(lèi)似“直線(xiàn)有端點(diǎn)嗎？你能否畫(huà)出一條完整的直線(xiàn)？”等問(wèn)題，引起學(xué)生的興趣，接著教師可進(jìn)一步指出：直線(xiàn)是沒(méi)有端點(diǎn)的，一個(gè)人從生下來(lái)就開(kāi)始，直到死為止，也畫(huà)不出一條完整的直線(xiàn)。畫(huà)不出完整的直線(xiàn)那么我們?cè)趺幢硎局本�(xiàn)呢？只能用直線(xiàn)上的一段來(lái)表示，決不能認(rèn)為直線(xiàn)就是這么長(zhǎng)，直線(xiàn)是向兩方無(wú)限延伸的。趁學(xué)生的興趣正濃，教師可緊接著指出：“平面”的概念也是如此，數(shù)學(xué)中的平面在空間是向各個(gè)方向無(wú)限延展的，它很平，沒(méi)有厚薄、沒(méi)有邊界。而日常生活中常見(jiàn)到的玻璃面、黑板面、平靜的水面等，只是數(shù)學(xué)里“平面”的一部分。既然平面是無(wú)限的，它也無(wú)法畫(huà)出來(lái)，只能用有限的圖形——平行四邊形來(lái)表示。生動(dòng)有趣的教學(xué)語(yǔ)言，調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，加深了對(duì)平面概念延展性的理解與記憶。
抓住關(guān)鍵性的詞匯
在學(xué)生作業(yè)中，常會(huì)看到這樣的推理：
∵AB在平面α內(nèi)，AC在平面β內(nèi)
∴∠BAC是二面角α-MN-β的平面角。
這位同學(xué)推理錯(cuò)誤，對(duì)二面角的平面角的概念沒(méi)有理解，缺少條件“AB⊥MN，AC⊥MN”。每個(gè)定義中都存在著關(guān)鍵性的詞語(yǔ)，抓住了關(guān)鍵詞就抓住了事物的本質(zhì)屬性。因此，在講述概念的過(guò)程中，要著重分析定義中的關(guān)鍵詞，使學(xué)生明確地掌握概念。如二面角的平面角定義，經(jīng)過(guò)分析，可以分解為三個(gè)要點(diǎn)：（1）過(guò)棱上一點(diǎn)；（2）在兩個(gè)面內(nèi)；（3）垂直于棱。并指出這三個(gè)條件必須同時(shí)滿(mǎn)足，只要有一條不滿(mǎn)足，就不是二面角的平面角。隨后畫(huà)出各種圖形或舉實(shí)例，讓學(xué)生判定哪些是二面角的平面角，學(xué)生在充分理解的基礎(chǔ)上按照上述三條可以做出正確答案。
用反例圖形澄清錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)
圖形是用來(lái)描述幾何原理最直觀(guān)的形象語(yǔ)言，幾何中多以圖形的正面形式來(lái)刻畫(huà)點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，而反面形式不易被人們重視。反例圖形就是用來(lái)說(shuō)明某種關(guān)系或結(jié)論不成立的特殊圖形。恰當(dāng)?shù)嘏e出反例，對(duì)明辨是非、糾正錯(cuò)誤會(huì)起到重要作用。例如“不共面的兩條直線(xiàn)稱(chēng)為異面直線(xiàn)”，學(xué)生會(huì)誤認(rèn)為不同在某個(gè)特定平面內(nèi)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)，為了讓學(xué)生理解“不共面”的含義，教師可以提出問(wèn)題：“分別畫(huà)在兩個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)嗎？”部分學(xué)生會(huì)認(rèn)為答案是肯定的，當(dāng)教師畫(huà)出反例圖1時(shí)，學(xué)生會(huì)立刻明白，畫(huà)在兩個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)不一定是異面直線(xiàn)。又如針對(duì)學(xué)生立體幾何與平面幾何容易混淆的知識(shí)，可以通過(guò)反例圖形加強(qiáng)它們性質(zhì)的比較，使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)本質(zhì)的區(qū)別，強(qiáng)化對(duì)知識(shí)的理解。如“平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行”在平面幾何中成立，在立體幾何中也成立�！按怪庇谕恢本�(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行”，在平面幾何中成立，而在立體幾何中不成立，要說(shuō)明這一點(diǎn)畫(huà)一個(gè)反例圖形就可以了。可見(jiàn)指出錯(cuò)誤最有力也是最有效的辦法就是畫(huà)出反例圖形。
借助模型和實(shí)物
數(shù)學(xué)中的許多概念都是從實(shí)際生活、生產(chǎn)中抽象出來(lái)的，但數(shù)學(xué)化了的概念與實(shí)際感受有較大距離，所以在立體幾何教學(xué)開(kāi)始階段困難很大。克服困難的辦法是遵循教學(xué)規(guī)律，使立體幾何的教學(xué)盡可能與學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程靠近，注重直觀(guān)思維的作用，逐步把直觀(guān)思維引導(dǎo)到分析思維。因此，教學(xué)中充分利用模型與實(shí)物，為學(xué)生獲取知識(shí)創(chuàng)造條件。例如要講清楚公理“不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面”，可以舉例：一扇門(mén)有兩個(gè)合頁(yè)和一把鎖，門(mén)可以看作一個(gè)平面，兩個(gè)合頁(yè)和鎖看作三個(gè)點(diǎn)，當(dāng)打開(kāi)時(shí)門(mén)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)位置，就可以看作是一個(gè)平面，可見(jiàn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)平面，當(dāng)門(mén)鎖上時(shí)門(mén)被固定不能轉(zhuǎn)動(dòng)了，觀(guān)察這三點(diǎn)是不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)，因此得到：經(jīng)過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)能作也只能作一個(gè)平面。這樣，學(xué)生對(duì)公理容易理解與接受。再如公理“如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線(xiàn)�！睂W(xué)生對(duì)兩平面相交為什么會(huì)是條直線(xiàn)不易理解，可以用硬紙板演示給學(xué)生看，如圖2，就可使學(xué)生明白了這一道理。接著可以提問(wèn)學(xué)生，若平面有兩個(gè)公共點(diǎn)A、B，是否它們有兩條公共直線(xiàn)呢？突出強(qiáng)調(diào)兩個(gè)平面相交只有一條交線(xiàn)，這條交線(xiàn)就是通過(guò)A、B的直線(xiàn)，從而使學(xué)生加深了對(duì)公理的理解。
善于歸納總結(jié)找出規(guī)律
在適當(dāng)?shù)碾A段，要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)的概念穿針引線(xiàn)，使學(xué)生把握概念的脈絡(luò)、抓住要點(diǎn)，便于理解記憶。如平面一節(jié)結(jié)束后，讓學(xué)生歸納確定平面的方法；直線(xiàn)與平面一章結(jié)束后，讓學(xué)生談?wù)剰木�(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)面平行、面面平行的定義中有什么發(fā)現(xiàn)，判定線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面平行或垂直有哪些方法，它們的距離問(wèn)題有什么規(guī)律等等。只有學(xué)生掌握了概念的本質(zhì)及概念之間的區(qū)別、聯(lián)系，才能正確地使用概念。
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